齋藤正彦 線型代数入門 p.122,123
例5. \( n\)次以下の実係数多項式空間\(P_n(\mathbb{ R })\)において
\[ F_k(x)=\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k \quad(k=0,1,2,\dots, n) \]
と置くと、\(\boldsymbol{F}=<F_0,F_1,F_2, \dots,F_n>\)は互いに直交する\(P_n(\mathbb{ R })\)の基底となる。（ノルムは1ではない）.
実際、$F_k(x)$はk次多項式であるから、Fは$P_n(\mathbb{ R })$の基底となる.また、$G_k(x)=(x^2-1)^k$と置けば、$F_k(x)=G_k^{(k)}(x)（k$階導関数）であり、$i<k$ならば、$G_k^{(i)}(1)=G_k^{(i)}(-1)=0.$
$k \gg l $とすれば、部分積分法により、
\begin{align}
(F_k,F_l)&=\int_{-1}^{1}F_k(x)F_l(x)dx \\
&=\left[G_k^{(k-1)}(x)F_l(x)\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}G_k^{(k-1)}(x)F_l'(x)dx \\
&=-\int_{-1}^{1}G_k^{(k-1)}(x)F_l'(x)dx \\
&=\left[-G_k^{(k-2)}(x)F_l'(x)\right]_{-1}^{1}+\int_{-1}^{1}G_k^{(k-2)}(x)F_l''(x)dx \\
&= \cdots \cdots =(-1)^l\int_{-1}^{1}G_k^{(k-l)}(x)F_l^{(l)}(x)dx
\end{align}
\begin{align*}
G_l(x) &=(x^2-1)^l \\
&={}_l \mathrm{ C }_0 x^{2l}+{}_l \mathrm{ C }_1 (-1)^{1}x^{2(l-1)}+ \cdots +{}_l \mathrm{ C }_l (-1)^{l} \\
&=x^{2l}-lx^{2(l-1)}+ \cdots +(-1)^l \\
F_l^{(l)}(x) &=G_l^{(2l)}(x) \\
&=D^{2l}x^{2l}-D^{2l}lx^{2(l-1)}+ \cdots +D^{2l}(-1)^l \qquad (D^{2l}=\frac{d^{2l}}{dx^{2l}})\\
&=(2l)!
\end{align*}
$k>l$なら、$F_l^{(l)}(x)=G_l^{(2l)}(x)=(2l)!,k-l>0$であるから、
$$ (F_k,F_l)=\left[ (-1)^l(2l)!G_k^{(k-l-1)}(x) \right]_{-1}^{1}=0 $$
$F_k(x)$を正規化するために、ノルム$ \| F_k(x) \| $を計算する. 上記の式において、$k=l$ とすれば、
\begin{eqnarray*}
\| F_k(x) \|^2 &=& \int_{-1}^{1}F_k(x)^2dx=(-1)^k\int_{-1}^{1}G_k(x)F_k^{(k)}(x)dx \\
&=& (-1)^k(2k)!\int_{-1}^{1}(x^2-1)^kdx
\end{eqnarray*}
上記の積分項をふたたび部分積分する。
\[\begin{align}
I_k &= \int_{-1}^{1} (x^2-1)^k dx \\
&= \left[x(x^2-1)^k \right]_{-1}^{1}-2k\int_{-1}^{1} x^2(x^2-1)^{k-1}dx \\
&= -2k\int_{-1}^{1}(x^2-1+1)(x^2-1)^{k-1}dx \\
&= -2k\left( \int_{-1}^{1}(x^2-1)^k+\int_{-1}^{1}(x^2-1)^{k-1} \right) \\
&= -2kI_k-2kI_{k-1} \\
\therefore \ \ I_k &= - \frac{2k}{2k+1} I_{k-1}\\
I_k &= \left(-\frac{2k}{2k+1}\right)\left(-\frac{2(k-1)}{2(k-1)+1}\right) \dots \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot I_0\\
I_0 &= \int_{-1}^{1}(x^2-1)^0dx=2 \ \ であり、I_kの符号は(-1)^k。\\
分子は \ \ &2k(2(k-1))(2(k-2))\cdots 2 \cdot 1 = 2^k \cdot k!\\
分母は \ \ &(2k+1)(2k-1)(2k-3) \dots 3 =(2k+1)!! \ \ で二重階乗\\
&(2k+1)! = (2k+1)!! \cdot (2k)!! \ \ \ であり\\
(2k)!! &= 2k(2k-2)(2k-4)\dots2=2k(2(k-1))\dots2\cdot1=2^k\cdot k!\\
&(2k+1)!! = \frac{(2k+1)!}{(2k)!!}=\frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}\\
\therefore \ \ I_k &= (-1)^k\frac{k!\cdot2^k\cdot2}{\frac{(2k+1)!}{k!\cdot2^k}}=(-1)^k\frac{(k!)^2\cdot2^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
(F_k,F_k)&=\| F_k \|^2=(-1)^k(2k)!I_k=\frac{(k!)^2\cdot2^{2k}\cdot2}{2k+1}\\
\|F_k\|&=\sqrt{\frac{2}{2k+1}}k!\cdot2^k \ \ \ これより正規直交基底を得る\\
E_k(x)&=\sqrt{\frac{2k+1}{2}}\cdot\frac{1}{k!\cdot2^k}\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)k
\end{align}\]
例5. \( n\)次以下の実係数多項式空間\(P_n(\mathbb{ R })\)において
\[ F_k(x)=\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k \quad(k=0,1,2,\dots, n) \]
と置くと、\(\boldsymbol{F}=<F_0,F_1,F_2, \dots,F_n>\)は互いに直交する\(P_n(\mathbb{ R })\)の基底となる。（ノルムは1ではない）.
実際、$F_k(x)$はk次多項式であるから、Fは$P_n(\mathbb{ R })$の基底となる.また、$G_k(x)=(x^2-1)^k$と置けば、$F_k(x)=G_k^{(k)}(x)（k$階導関数）であり、$i<k$ならば、$G_k^{(i)}(1)=G_k^{(i)}(-1)=0.$
$k \gg l $とすれば、部分積分法により、
\begin{align}
(F_k,F_l)&=\int_{-1}^{1}F_k(x)F_l(x)dx \\
&=\left[G_k^{(k-1)}(x)F_l(x)\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}G_k^{(k-1)}(x)F_l'(x)dx \\
&=-\int_{-1}^{1}G_k^{(k-1)}(x)F_l'(x)dx \\
&=\left[-G_k^{(k-2)}(x)F_l'(x)\right]_{-1}^{1}+\int_{-1}^{1}G_k^{(k-2)}(x)F_l''(x)dx \\
&= \cdots \cdots =(-1)^l\int_{-1}^{1}G_k^{(k-l)}(x)F_l^{(l)}(x)dx
\end{align}
\begin{align*}
G_l(x) &=(x^2-1)^l \\
&={}_l \mathrm{ C }_0 x^{2l}+{}_l \mathrm{ C }_1 (-1)^{1}x^{2(l-1)}+ \cdots +{}_l \mathrm{ C }_l (-1)^{l} \\
&=x^{2l}-lx^{2(l-1)}+ \cdots +(-1)^l \\
F_l^{(l)}(x) &=G_l^{(2l)}(x) \\
&=D^{2l}x^{2l}-D^{2l}lx^{2(l-1)}+ \cdots +D^{2l}(-1)^l \qquad (D^{2l}=\frac{d^{2l}}{dx^{2l}})\\
&=(2l)!
\end{align*}
$k>l$なら、$F_l^{(l)}(x)=G_l^{(2l)}(x)=(2l)!,k-l>0$であるから、
$$ (F_k,F_l)=\left[ (-1)^l(2l)!G_k^{(k-l-1)}(x) \right]_{-1}^{1}=0 $$
$F_k(x)$を正規化するために、ノルム$ \| F_k(x) \| $を計算する. 上記の式において、$k=l$ とすれば、
\begin{eqnarray*}
\| F_k(x) \|^2 &=& \int_{-1}^{1}F_k(x)^2dx=(-1)^k\int_{-1}^{1}G_k(x)F_k^{(k)}(x)dx \\
&=& (-1)^k(2k)!\int_{-1}^{1}(x^2-1)^kdx
\end{eqnarray*}
上記の積分項をふたたび部分積分する。
\[\begin{align}
I_k &= \int_{-1}^{1} (x^2-1)^k dx \\
&= \left[x(x^2-1)^k \right]_{-1}^{1}-2k\int_{-1}^{1} x^2(x^2-1)^{k-1}dx \\
&= -2k\int_{-1}^{1}(x^2-1+1)(x^2-1)^{k-1}dx \\
&= -2k\left( \int_{-1}^{1}(x^2-1)^k+\int_{-1}^{1}(x^2-1)^{k-1} \right) \\
&= -2kI_k-2kI_{k-1} \\
\therefore \ \ I_k &= - \frac{2k}{2k+1} I_{k-1}\\
I_k &= \left(-\frac{2k}{2k+1}\right)\left(-\frac{2(k-1)}{2(k-1)+1}\right) \dots \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot I_0\\
I_0 &= \int_{-1}^{1}(x^2-1)^0dx=2 \ \ であり、I_kの符号は(-1)^k。\\
分子は \ \ &2k(2(k-1))(2(k-2))\cdots 2 \cdot 1 = 2^k \cdot k!\\
分母は \ \ &(2k+1)(2k-1)(2k-3) \dots 3 =(2k+1)!! \ \ で二重階乗\\
&(2k+1)! = (2k+1)!! \cdot (2k)!! \ \ \ であり\\
(2k)!! &= 2k(2k-2)(2k-4)\dots2=2k(2(k-1))\dots2\cdot1=2^k\cdot k!\\
&(2k+1)!! = \frac{(2k+1)!}{(2k)!!}=\frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}\\
\therefore \ \ I_k &= (-1)^k\frac{k!\cdot2^k\cdot2}{\frac{(2k+1)!}{k!\cdot2^k}}=(-1)^k\frac{(k!)^2\cdot2^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
(F_k,F_k)&=\| F_k \|^2=(-1)^k(2k)!I_k=\frac{(k!)^2\cdot2^{2k}\cdot2}{2k+1}\\
\|F_k\|&=\sqrt{\frac{2}{2k+1}}k!\cdot2^k \ \ \ これより正規直交基底を得る\\
E_k(x)&=\sqrt{\frac{2k+1}{2}}\cdot\frac{1}{k!\cdot2^k}\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)k
\end{align}\]
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