$p^q+q^p=$素数（2016年京大入試問題）

\[ 素数 \ p,q \ を用いて、p^q+q^p \ と表される素数をすべて求めよ。 \]

偶数のべき乗は偶数、奇数のべき乗は奇数。
偶数と偶数、奇数と奇数の和は偶数。偶数と奇数の和は奇数。
\(偶数で素数であるのは2のみ。\)
\(2は最小の素数であるからp=q=2とすると、p^q+q^p=8。\)
よって\(p^q+q^p\)で表される素数は8よりも大きい素数であるから奇数となる。

\(q=2とおくと \quad 2^p+p^2 \)
\(p=3のとき \quad 2^3+3^2=8+9=17 \)
\(p=5のとき \quad 2^5+5^2=32+25=57=3 \cdot 19 \)
\(p=7のとき \quad 2^7+7^2=128+49=177=3 \cdot 59 \)
\(p=11のとき \quad 2^11+11^2=2048+121=2169=3 \cdot 723 \)

\( p=3のときは17で素数となり、5以上の素数のときは３\)の倍数になりそうである。

ネット上にある解答例に多いのは、\(5以上の素数を \ 3n \pm 1 (n\ge2, n \in \mathbb{ N }) \ \)、または\( \ 6n \pm 1( n\ge1, n \in \mathbb{ N }) \ \)と表現して、合同式、もしくは数学的帰納法による解法である。

\(5以上の素数\ p \ \)を上記のような一般項で表した場合、それは素数だけでなく
素数でない奇数も含むことになるので、題意よりも大きい範囲で証明される。勿論、素数は含まれているので題意の証明は包含され、問題はない。しかし、題意の条件は\(素数 \ p,q \ \)なので、素数よりも広い\( \ p \ \)をとることに若干違和感を感じる。

それに比べると河合塾の模範解答は過不足なくエクセレントである。

\(p=3のとき \quad 2^3+3^2=8+9=17 \quad となり素数 \)
\( p \ge 5 の素数のとき \)
\[ \begin{align} p^2+2^p & \equiv p^2 + (-1)^p \\
& \equiv p^2 -1 \\
& \equiv (p+1)(p-1) \\
& \equiv 0 \pmod 3 \end{align} \]
\( \ p \ は3の倍数でないから、 \ p+1 , \ p-1 \ の一方は3の倍数。\)
\( また、p^2+2^p \gt 3 であるからp^2+2^pは3の倍数となり、素数でない。\)
\[ したがって、素数 \ p,q \ を用いて、 \  p^q+q^p \ と表される素数は \ 17 \]